Альберт родился в дагестанском селе Бабаюрт, но позднее переехал в Нижневартовск, где с 8-ми лет стал заниматься единоборствами. Сначала он увлекался кикбоксингом. А после 9-лет занятий им у него появилась мечта - выступить на Олимпиаде, поэтому он решился на смену вида спорта. Выбор Альберта остановился на боксе.
Но до этого были годы успешных выступлений в кикбоксинге. В 2013 году Батыргазиев впервые стал чемпионом России в фулл-контакте в весе до 42 килограмм. Выигрывал европейское и мировое первенство в категории до 47. До 2016 года становился неоднократным победителем российского первенства и считался одним из сильнейших кикбоксёров страны.
В 2017 году провёл свой первый боксёрский бой. Стоит сказать, что в том поединке ему противостоял Владимир Никитин, являющийся обладателем бронзовой медали Олимпиады 2016 года. Альберт выступил достойно и одолел своего оппонента, а в итоге стал чемпионом России в своей лёгкой весовой категории.
В 2018 году в весе до 60 килограмм становится победителем международного турнира, а позднее завоёвывает юниорскую “бронзу” европейского первенства. В составе сборной страны участвовал в матчевом противостоянии против сборной мира. В 2019 году доходит до 1/4 финала чемпионата мира и в третий раз становится чемпионом России.
В данный момент боксёр входит в состав национальной команды страны.